D( X ) =
+∞
(x − a )2 exp⎡− (x − a )2 ⎤ dx = b 2 .
∫ ⎢
2π b
⎥
2b 2 ⎦
(3.69)
−∞ ⎣
Таким образом, параметр a имеет значение математического ожидания, а
b – значение СКО. Поэтому выражение для плотности вероятности нор-
мального распределения можно представить в виде:
1 ⎡ ( x − a )2 ⎤
f (x ) = exp ⎢− ⎥. (3.70)
2π σ ⎣ 2σ 2 ⎦
Если случайная величина X имеет нормальное распределение с пара-
метрами a и σ, то пишут X ∈ N ( x, a, σ ) . График функции (3.70) представ-
ляет собой колоколообразную симметричную кривую. Параметр a – точка
максимума, через которую проходит ось симметрии, параметр σ – рас-
стояние от оси симметрии до точки перегиба кривой. Если σ мало, кривая
высокая и заостренная. При больших σ кривая широкая и плоская. Цен-
трированное ( a = 0 ) нормальное распределение для различных σ приведе-
но на рис. 3.9, б.
Распределение N ( x, 0, 1) называется нормированным и центрирован-
ным нормальным распределением. Интегральную функцию Φ( x ) распре-
деления N ( x, 0, 1) можно преобразовать к виду:
x
1 ⎛0 ⎡ t2 ⎤ x
⎡ t2 ⎤ ⎞
Φ( x ) = ∫ ϕ (t )dt = ⎜ ∫ exp ⎢− ⎥ dt + ∫ exp ⎢− ⎥ dt ⎟ ,
⎜ ⎟ (3.71)
−∞ 2π ⎝ −∞ ⎣ 2⎦ 0 ⎣ 2⎦ ⎠

131

где ϕ ( x ) – дифференциальная функция распределения N ( x, 0, 1) .
Интеграл
1 x ⎡ t2 ⎤
Φ 0 (x ) = ∫ exp ⎢− 2 ⎥ dt (3.72)
2π 0 ⎣ ⎦
называется интегралом вероятности или нормированной функцией Лапла-
са. Φ 0 ( x ) является четной функцией, т.е. Φ 0 (− x ) = Φ 0 ( x ) , и Φ 0 (∞ ) = 1 2 ,
так что
1
Φ( x ) = Φ 0 ( x ) + . (3.73)
2
Функции Φ 0 ( x ) и ϕ ( x ) табулированы (т.е. представлены в справочных
таблицах).
Если случайная величина X ∈ N ( x, a, σ ) , то ее интегральная функция
распределения равна
1 ⎡ (t − a )2 ⎤
x
F (x ) = ∫ exp ⎢− 2σ 2 ⎥ dt . (3.74)
−∞ 2π σ
⎣ ⎦
Произведем в (3.74) замену переменной t на y = (t − a ) σ . Учитывая, что
t = yσ + a и dt = σdy , получим
⎛ x −a⎞
F ( x ) = Φ⎜ ⎟. (3.75)
⎝ σ ⎠
Поэтому, согласно (3.42), имеем:
⎛ x −a⎞ ⎛ x −a⎞
P( x1 < X < x2 ) = F ( x2 ) − F ( x1 ) = Φ 0 ⎜ 2 ⎟ − Φ0 ⎜ 2 ⎟. (3.76)
⎝ σ ⎠ ⎝ σ ⎠
Важность нормального распределения основывается на центральной
предельной теореме. Из этой теоремы следует, что если случайная вели-
чина X представляет сумму большого числа независимых случайных ве-
личин Xi, i = 1, n , каждое из которых вносит в сумму лишь незначитель-
ный вклад, то независимо от того, каким законам распределения подчи-
няются слагаемые Xi, случайная величина X будет иметь распределение,
близкое к нормальному. Чем больше число слагаемых n, тем точнее при-
ближение распределения X к N ( x, a, σ ) .